Przejdź do zawartości

Diament Jensena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Diament Jensena – zdanie w teorii mnogości, oznaczane przez postulujące istnienie ciągu zbiorów przeliczalnych, który często zgaduje każdy podzbiór pierwszej nieprzeliczalnej liczby porządkowej Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, to znaczy na ich gruncie nie można go ani udowodnić, ani obalić. Ponieważ ma ono wiele ciekawych konsekwencji, jest traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli wymaga tego dowód.

Zasada kombinatoryczna została wprowadzona przez amerykańskiego matematyka Ronalda Jensena. Jedną z motywacji do rozważania tego zdania jest jego prawdziwość w uniwersum konstruowalnym oraz fakt, iż wiele studiowanych wcześniej własności okazało się być konsekwencjami

Jensen udowodnił też, że jeśli jest niesprzeczne, to niesprzeczna jest również teoria [1].

Diament i wzmocnienie

[edytuj | edytuj kod]

Diament Jensena to następujące zdanie:

Istnieje taki ciąg że
dla każdej liczby porządkowej oraz
dla każdego zbioru zbiór jest stacjonarny.

to zdanie:

Istnieje taki ciąg że
dla każdej liczby porządkowej jest przeliczalną rodziną podzbiorów oraz
dla każdego zbioru istnieje club taki, że

to zdanie:

Istnieje taki ciąg że
dla każdej liczby porządkowej jest przeliczalną rodziną podzbiorów oraz
dla każdego zbioru zbiór jest stacjonarny.

Konsekwencje i własności

[edytuj | edytuj kod]

Następujące twierdzenia są dowodliwe w

  • Jeśli jest prawdziwy, to istnieje ω1-drzewo Suslina. Zatem przy założeniu
    (a) istnieje porządek liniowy bez końców, w którym każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna, ale który nie zawiera żadnego przeliczalnego podzbioru gęstego;
    (b) istnieje przestrzeń topologiczna która jest przestrzenią Suslina (tzn. każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów jest co najwyżej przeliczalna), ale której produkt nie jest przestrzenia Suslina (zdanie to jest mimo to dowodliwe pod założeniem samej hipotezy continuum[2]).
  • Jeśli jest prawdziwy, to istnieje -drzewo Kurepy (z gałęziami długości ).
  • Zdania i są równoważne.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Keith J. Devlin, Håvard Johnsbråten: The Souslin problem. „Lecture Notes in Mathematics”, T. 405. Springer-Verlag, Berlin, New York, 1974. s. viii + 132.
  2. Frederick Galvin: Chain conditions and products. „Fundamenta Mathematicae” 1980, nr 108, s. 33–48.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Kenneth Kunen: Set theory. An introduction to independence proofs. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam New York, 1980. ISBN 0-444-85401-0, s. 80–86.